Лаборатория знаний
+7 (495) 181-53-44
ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 1
Авторизация
Логин:
Пароль:
Регистрация
Забыли свой пароль?
Подписка на рассылку
Партнеры

Городской проект "Школа Новых Технологий"






















Социальные сети

Система Orphus


Пояснительная записка

Пояснительная записка к линейке учебников «Алгебра» для 7–9 классов

проект «Математика. Психология. Интеллект» (МПИ)

Учебники «Алгебра» для 7–9 классов подготовлены в рамках реализации проекта «Математика. Психология. Интеллект» (МПИ) и разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования нового поколения.

В проекте МПИ учебные материалы 7–9 представлены в виде учебно-методического комплекта (УМК), что соответствует современным педагогическим представлениям об организации образовательного пространства учебной деятельности.

Учебно-методический комплект МПИ «Алгебра 7-9» продолжает содержательные, методические и психолого-педагогические линии курса математики, представленного в учебно-методическом комплекте МПИ "Математика 5-6" (рекомендован Министерством РФ к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования).

В учебно-методический комплект 7-9 входят:

  • учебники «Алгебра» 7 класс, «Алгебра» 8 класс, «Алгебра» 9 класс;
  • практикумы «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9»;
  • программа по алгебре для 7 – 9 классов;
  • электронные образовательные ресурсы к учебникам на сайте ФЦИОР (http://fcior.edu.ru);
  • методические пособия для учителя.

1. Соответствие содержания учебников современным научным представлениям

Учебники разработаны с учетом основных положений деятельностного, личностно-ориентированного и компетентностного подходов к организации содержания современного школьного математического образования.

Деятельностный подход реализуется в УМК в рамках позиции, согласно которой учащиеся принимают активное участие в процессе обучения математическим понятиям, в поиске формул, формулировок теорем и следствий из них, методов решения математических задач:

  • учебники снабжены навигационными инструментами (навигационной полосой со специальными значками), которые позволяют обучающимся использовать все составляющие УМК с учетом их образовательных потребностей. Таким образом, навигационные значки активизируют деятельностный характер взаимодействия ученика с содержанием учебника благодаря ссылкам на другие учебные материалы (практикумы и электронные образовательные ресурсы), включая ученика в разные виды учебной деятельности (исполнительскую, исследовательскую, проектную, творческую);
  • при работе с учебником и учебными материалами обучающимся предоставляется возможность проявить самостоятельность на различных этапах изучения математики (на этапе изучения теории, при выборе уровня тренажа и контроля);
  • создаются условия для формирования у обучающихся эффективных способов учебно-познавательной деятельности, а именно: обучение понятиям, установление причинно-следственных связей, построение цепочки индуктивных и дедуктивных рассуждений, освоение алгоритмов действий, развитие готовности выбирать рациональный метод решения задач и использовать разные приемы анализа одной и той же учебной проблемы, знание способов самоконтроля и т.д.;
  • в учебниках, наряду с констатацией «готового» математического знания, воспроизводится процесс его порождения (новые знания вводятся постепенно, включая этапы мотивации, обсуждения, обобщения и рефлексии);
  • в учебниках и учебных материалах создаются условия для развития интереса к практическим приложениям математики и демонстрации роли математических знаний в анализе реальных ситуаций.

Личностно-ориентированный подход в рамках УМК реализован следующим образом:

  • учебная информация предъявляется в разных формах (словесно-логической, визуальной, предметно-практической), что позволяет ученикам с разными познавательными стилями успешно усваивать материал;
  • активно используется личный (в том числе житейский) опыт учеников как на этапе освоения теоретических разделов учебников, так и при решении прикладных задач;
  • учебники и учебные материалы содержат учебные задания, которые формируют у обучающихся готовность формулировать гипотезы, обосновывать и отстаивать свою точку зрения, корректировать результаты учебной деятельности;
  • средствами учебника и учебных материалов обеспечивается индивидуализация обучения (компоненты УМК позволяют учитывать индивидуальные познавательные потребности и склонности обучающихся, выбирать индивидуальную траекторию самообучения).

Компетентностный подход в УМК учтен в следующих основных аспектах:

  • используется тематический принцип организации учебников и учебных материалов, что позволяет одновременно и углублять, и расширять знания обучающихся, а также выстраивать содержание соответствующей темы, используя разные типы систематизации информации;
  • предполагается одновременное формирование как декларативных знаний (о том, что), так и процедурных знаний (о том, как);
  • содержание учебников и учебных материалов (последовательность изучения каждой темы, подбор учебных заданий и проверочных работ) построено таким образом, чтобы способствовать формированию рефлексивной позиции (осознанного, произвольного отношения обучающихся к процессу обучения);
  • учебные материалы учат школьников принимать учебную проблемную ситуацию и принимать участие в постановке учебных проблем;
  • средствами учебного текста формируются навыки планирования, целеполагания, самоконтроля, прогнозирования, оценивания, доказательства, обобщения как основы компетентностного уровня усвоения учебных знаний;
  • материалы учебников и практикумов формируют умение работать с текстом (выделять главные идеи текста, искать в тексте нужную информацию, сравнивать тексты, конструировать тексты и т.д.);
  • создаются условия для того, чтобы ученики могли применять усвоенные теоретические знания в разнообразных практических ситуациях (в том числе, за счет создания учебных проектов).

Научно-методической основой учебников и учебных материалов по курсу алгебры 7–9 классов являются исследования в области психологии интеллекта и теории учебного текста, реализованные в рамках «обогащающей модели» обучения математике в основной школе. Назначение проекта МПИ – интеллектуальное воспитание обучающихся средствами содержания школьного математического образования на основе психодидактического подхода (Гельфман Э.Г., Холодная М.А. Психодидактика школьного учебника: Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. – 384 с.).

2. Соответствие содержания учебников требованиям к метапредметным, личностным и предметным результатам освоения основной образовательной программы

В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования учебник ориентирован на достижение метапредметных, личностных и предметных результатов обучения.

На уровне предметных результатов:

Обучающиеся должны знать (понимать):

  • свойства изучаемых понятий и осознавать внутрипредметные и межпредметные связи между различными понятиями;
  • как использовать математические выражения, формулы, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, функции для решения математических и практических задач;
  • понятие алгоритма, приводить примеры алгоритмов;
  • особенности индуктивных и дедуктивных рассуждений, математических доказательств;
  • смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами;
  • вероятностный характер многих законов окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов;
  • роль математики в развитии человеческой культуры.

Обучающиеся должны уметь:

  1. Характеризовать различные подмножества действительных чисел, устанавливать связи между ними. Сравнивать рациональные числа, выполнять действия над ними.
    Приводить примеры задач, которые приводят к необходимости изучения иррациональных чисел. Исследовать свойства квадратного и кубического корней из числа. Приводить примеры иррациональных чисел, изображать числа точками координатной прямой. Находить десятичные приближения рациональных и иррациональных чисел. Описывать множество действительных чисел.
  2. Составлять алгебраические выражения по условиям задач, представленным различными способами (словесно-символическим, образным, предметно-практическим).
    Находить область допустимых значений и вычислять числовые значения алгебраических выражений (степени с рациональным показателем, одночлены, многочлены, алгебраические дроби, алгебраические выражения, содержащие корни).
    Формулировать, записывать в символической форме, иллюстрировать примерами и обосновывать свойства различных алгебраических выражений. Выполнять действия над алгебраическими выражениями.
    Доказывать, записывать, читать, представлять схематически и опознавать тождества сокращенного умножения.
    Применять тождества и свойства алгебраических выражений при выполнении тождественных преобразований.
    Выполнять преобразования алгебраических выражений в соответствии с поставленной целью: выделять квадрат двучлена, раскладывать многочлен на множители, выделять целую часть дроби.
  3. Находить решение и исследовать линейные, квадратные и рациональные уравнения; уравнения, при решении которых используются данные уравнения. Составлять линейные и квадратные уравнения с определенными свойствами.
    Решать и исследовать системы двух линейных уравнений, некоторые нелинейные системы.
    Решать и проводить исследование линейных и квадратных неравенств и их систем.
    Решать текстовые задачи алгебраическим методом.
  4. Использовать функциональную символику (таблицы, формулы, графики и т.д.) для описания зависимости между величинами.
    Строить график функций по точкам и с помощью геометрических преобразований. Представлять схематически график функции на координатной плоскости.
    Вычислять значения функции, заданной различными способами, находить значения аргумента по заданным значениям функции.
    Исследовать функцию по общей схеме: область определения, нули функции, четность, график функции, промежутки знакопостоянства и монотонности и т.д.
    Анализировать свойства функции, заданной различными способами, переходить с одного языка описания функции на другой.
    Распознавать виды функции: прямая и обратная пропорциональности, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция. Применять свойства функции, ее график при решении различных задач.
    Устанавливать связи между функциями, последовательностями и прогрессиями; приводить разнообразные примеры последовательностей; применять индексные обозначения, выделять специфические свойства понятия последовательности, конструировать последовательности с определенными закономерностями, свойствами.
    Распознавать такие понятия, как числовые и нечисловые последовательности, различные способы заданий последовательностей, периодичность, монотонность, ограниченность, наличие наибольшего элемента числовой последовательности, различные виды и свойства последовательностей, арифметическая и геометрическая прогрессии, их графики, характеристические свойства, суммирование рядов, различные типы задач на прогрессии, сводимые к решению уравнений, неравенств и их систем.
    Вычислять по формулам значение n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, находить сумму первых n членов арифметической и геометрической прогрессий различными способами.
    Применять функционально-графические методы решения задач на прогрессии, способы учебной деятельности при самостоятельном исследовании последовательностей.
  5. Анализировать и представлять различными способами статистические данные. Представлять статистические закономерности в реальном мире, изучать их различными способами. Извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик. Использовать знание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений.

У обучающихся должна сформироваться готовность применять знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;
  • моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
  • описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;
  • интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.

На уровне метапредметных результатов:

Обучающиеся должны освоить общеучебные и регулятивные УУД:

  • принимать учебную проблемную ситуацию, принимать участие в постановке учебных проблем;
  • планировать и корректировать собственные учебные действия;
  • находить и исправлять ошибки, объяснять причины ошибок (своих собственных и допущенных другими);
  • освоить навыки самоконтроля;
  • осознать, что задача может иметь несколько способов решения и что к правильному результату можно прийти разными путями (готовность к вариативной мыслительной деятельности);
  • сравнивать разные способы решения задачи, выбирать рациональный (удобный) способ вычислений и поиска решения;
  • рассуждать как индуктивно, так и дедуктивно;
  • использовать предметно-практический, образный и знаково-словесный способы кодирования информации;
  • получать следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;
  • выстраивать аргументацию при доказательстве и в диалоге;
  • распознавать логически некорректные рассуждения;
  • прогнозировать результат учебной деятельности при выполнении различных математических действий, планировать свою деятельность при решении задач;
  • работать с текстом (выделять главные идеи текста, искать в тексте нужную информацию, сравнивать тексты, конструировать тексты и т.д.);
  • оценивать правильность выполнения поставленной учебной задачи, собственные возможности ее решения;
  • обобщать, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное), делать выводы;
  • владеть грамотной математической речью, в том числе для целей коммуникации;
  • использовать электронные ресурсы с учетом индивидуальных образовательных потребностей (сформированность элементов ИКТ-компетенции).

На уровне личностных результатов:

У обучающихся должны сформироваться определенные личностные качества:

  • ответственное отношение к учебным поручениям и учебной работе, а также уважительное отношение к знаниям и людям, добывающим новые знания;
  • мотивация к обучению;
  • готовность учиться самостоятельно;
  • позитивная и адекватная самооценка, а также осознание себя как успешного ученика по отношению к изучению математики;
  • доброжелательное и уважительное отношение к другому человеку, умение работать в режиме диалога, адекватно воспринимать чужое мнение;
  • умение сопоставлять полученные математические знания со своим жизненным опытом.

3. Соответствие содержания учебников возрастным особенностям учащихся

Подростковый возраст представляет собой особый этап психического развития, в течение которого происходит становление интеллекта «взрослого типа». Перестройка интеллектуальной сферы является основой формирования структуры самосознания и саморегуляции, оказывая существенное влияние на нравственное развитие подростков. В среднем и старшем подростковом возрасте (7-9 классы) складывается особая ситуация развития: происходит половое созревание, которое в некоторой степени может тормозить интеллектуальное развитие, и одновременно формируется теоретическое (понятийное) мышление, обеспечивающее качественное повышение интеллектуальных ресурсов подростка. Таким образом, возникает основное противоречие подросткового возраста: с одной стороны, это сензитивный период для развития интеллекта, а, с другой – именно на данном этапе онтогенеза отмечается снижение темпа интеллектуального развития (обычно оно приходится на 7 класс).

Соответственно тексты учебников были выстроены на достаточно высоком уровне сложности (по принципу нарастания сложности от 8 к 9 классу) с тем, чтобы обеспечить потребности растущего понятийного мышления обучающихся и их склонность к абстрактным идеям и общим подходам. Кроме того, учебные тексты имеют дифференцированный характер, чтобы обеспечить условия для продуктивного выхода обучающихся из "кризиса 7 класса", включая углубленный учебный материал (например, разделы "Беседы" учебников). Поскольку средние и старшие подростки отличаются исследовательским стилем и направленностью на обоснование фактических данных, в учебных текстах предусмотрены многочисленные проблемные ситуации, текст имеет диалоговый и "рассуждающий" характер. В учебниках и практикумах предусмотрена демонстрация различных прикладных аспектов математики, так как в этом возрасте начинают складываться профессиональные интересы обучающихся.

4. Характеристика некоторых компонентов учебно-методического комплекта 79

Учебники

Назначение учебников для 7–9 классов – организация образовательного пространства в процессе изучения математики.

В каждом учебнике систематизированы, в логически связанном и последовательном виде представлены основные содержательно-методические линии определенных тем курса. Учебный материал в учебниках организован по тематическому принципу.

Система учебных текстов учебников реализует подход, при котором благодаря проблемно-рассуждающему типу изложения учебного материала обучающиеся включаются в активную познавательную деятельность по получению декларативных и процедурных знаний и формированию системы универсальных учебных действий.

Каждый учебный текст учебника включает комплекс заданий, который создает проблемные ситуации, мотивирующие познавательную деятельность учащихся. Разрешение этих проблемных ситуаций с помощью системы проблемных вопросов помогает обучающимся подойти к определенным элементам математических знаний: объектам с определенными свойствами, понятиям, теоремам, правилам, алгоритмам действий, методам решения класса задач и т.д. При этом максимально используются различные формы умственного опыта учащихся. Каждый такой текст содержит учебный материал, который включает пояснения, указания, комментарии, нормативные знания, поддерживающие самостоятельную работу обучающихся и служащие основой для контроля, коррекции и оценки результатов их деятельности.

Такой подход к конструированию учебных текстов включает обучающихся в учебный диалог, позволяет развить умения формулировать гипотезы, проверять их и обосновывать, использовать различные методы познания, аргументировано отстаивать свою точку зрения.

Проблемно-рассуждающий тип текстов учебников способствует развитию индивидуальных интеллектуальных возможностей учащихся. Каждая глава учебника заканчивается заданиями, формирующими познавательные и регулятивные универсальные учебные действия.

Одним из разделов учебников являются «Беседы». Их содержание обогащает умственный опыт учащихся знаниями об истории развития математических понятий, о методах решения различных задач, о новых понятиях математики, выступая в качестве основы проектной деятельности.

Практикумы (задачники)

Задания практикумов выполняют различные психолого-педагогические функции.

Так, некоторые из них направлены на формирование математических понятий и учитывают психолого-педагогические закономерности формирования научных понятий у учащихся подросткового возраста.

С помощью этих заданий обучающиеся овладевают различными способами кодирования информации: словесно-символическим, визуальным, предметно-практическим, осуществляют обратимый перевод содержания понятия с одного языка представления информации на другой, рассматривают различные смыслы изучаемых математических терминов, опознают математические объекты с определенными свойствами, устанавливаю внутрипредметные и межпредметные связи между понятиями.

С помощью заданий практикумов обучающиеся учатся сравнивать математические объекты, классифицировать их, устанавливать причинно-следственные связи, находить закономерности, обобщать и т.д.

В целом практикумы создают условия для формирования системы универсальных учебных действий.

Так, например, формирование регулятивных универсальных действий способствуют задания, которые учат школьников понимать и принимать цели предстоящей деятельности, продумывать средства их реализации, действовать по предложенному плану, сравнивать различные планы решения одной и той же задачи, видеть собственные ошибки, выяснять их причины, предупреждать появление ошибок, выбирать стратегию собственного обучения и т.д.

Особое внимание уделяется математическому моделированию: описанию реальных ситуаций с помощью математических выражений, уравнений, неравенств и их систем, графиков функций, таблиц, диаграмм.

Многие задания практикумов создают условия для развития творческих способностей учащихся, привлекают их к проектной деятельности, реализуют текстопорождающую деятельность (самостоятельное составление разных типов учебных текстов).

Задания носят разноуровневый характер, что создает условия для индивидуализации учебной деятельности и развития умений осуществлять выбор.

5. Задачи курса «Алгебры» для 7–9 классов

1. Актуализировать и обогатить умственный опыт учащихся, связанный с понятием числа, координатной прямой, ввести понятие действительного числа. Установить связи между различными множествами чисел, входящими во множество действительных чисел.

2. Развить вычислительную культуру учащихся.

3. Актуализировать и обогатить умственный опыт учащихся, связанный с понятиями числовых и буквенных выражений, свойств математических операций, уравнений, решением текстовых задач. Сформировать понятия «тождества», «тождественные преобразования», «линейные уравнения с одним и двумя неизвестными», «квадратные уравнения», «дробно-рациональные уравнения», «иррациональные уравнения», «неравенства», «системы уравнений», «системы неравенств». Научить учащихся применять данные понятия при решении различных задач математики и других областей знаний.

4. Развить умение решать задачи с помощью уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств.

5. Актуализировать и обогатить умственный опыт учащихся, помогающий изучить понятие функции. Сформировать понятие функции и ее видов: прямой и обратной пропорциональностей, линейной функции, квадратичной функции, степенной функции. Научить применять свойства функций в различных ситуациях.

6. Дать представление о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозах, носящих вероятностный характер.

7. Сформировать представление о математике как универсальном языке науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

8. Создать условия для формирования системы универсальных учебных действий (УУД).

9. Способствовать росту интереса к предмету и положительному отношению к процессу изучения математики.

10. Обеспечить психологически комфортный режим умственного труда обучающихся (возможность выбора разных способов представления информации, разных видов учебной деятельности, разных форм контроля и самоконтроля, учет личного опыта ученика, возможность получить педагогическую поддержку за счет обращения к разным элементам УМК).

6. Содержательные линии курса «Алгебра 7–9»

Числовые системы

Изучение чисел, начатое в курсе математики 5–6, заканчивается в основной школе темой «Действительные числа». При изучении этой темы обобщаются знания учащихся о ситуациях, в которых возникает необходимость в новых числах, о свойствах чисел, о связях между различными множествами чисел.

Данный учебный материал имеет большое мировоззренческое значение. При его изложении большое внимание уделяется развитию визуального опыта учащихся, показу исторического пути развития понятия действительного числа, рассмотрению его прикладных аспектов.

Учащиеся сталкиваются с необходимостью изучения бесконечной десятичной непериодической дроби. Исследовательская работа с числом (квадратный корень из 2) служит фокус-примером, вооружающим учащихся способом представления любого числа вида (корень n-степени из числа а) (где a не является n‑й степенью натурального числа).

Интерпретации иррациональных чисел как длин отрезков, обсуждение вопросов соизмеримости и несоизмеримости отрезков позволяют учащимся еще раз осознать связь между различными разделами математики.

Применению иррациональных чисел в архитектуре, живописи посвящена беседа «Иррациональные числа и золотое сечение».

Алгебраические выражения

В курсе «Алгебра 7–9» учащиеся осваивают организацию деятельности по изучению новых алгебраических понятий: постановку целей, обобщение различных ситуаций, в которых возникает необходимость в новых алгебраических объектах (степенях, одночленах, многочленах, алгебраических дробях, корнях n-ой степени); введение необходимых терминов, определений; контроль результатов деятельности.

Учащиеся анализируют свойства новых объектов, устанавливают внутрипредметные и межпредметные связи между понятиями. При этом большое внимание уделяется формированию умений использовать разные способы кодирования информации об изучаемых понятиях и переходить от одной формы представления информации к другой; работать с признаками понятий различных алгебраических выражений.

Изучение данных понятий происходит постепенно. Используя свойства операции умножения, учащиеся изучают понятия «степень с натуральным показателем», «одночлены», учатся переходить от одного равенства к другому тождественно равному первому. Здесь происходит знакомство с индуктивно-дедуктивными рассуждениями, проведением доказательств.

Подключив к построению алгебраических выражений операцию сложения, учащиеся начинают изучать многочлены. Затем вводится операция деления многочленов. Анализ выполнимости этой операции на множестве многочленов приводит к понятию алгебраической дроби.

На всех этапах изучения новых алгебраических выражений создаются условия для того, чтобы учащиеся могли активно использовать свои прошлые знания и осознавать направление их обогащения.

Опыт работы с алгебраическими операциями и опыт конструирования алгебраических объектов могут быть творчески использованы и в дальнейшем при работе с новыми операциями и новыми объектами. Этому посвящены специальные беседы «Алгебраические операции и их свойства», «Для тех, кто хочет вести секретную переписку с друзьями».

Тождества

Использование алгебраических выражений при решении различных задач приводит к необходимости синтаксического и семантического анализа алгебраических выражений, обсуждения возможности перехода от одного алгебраического выражения к другому. Умение проводить тождественные преобразования, знание тождеств является одним из условий успешности учащихся во многих темах школьного курса математики.

На примере изучения тождеств сокращенного умножения учащиеся имеют возможность овладеть общими способами работы с тождествами. Выполняя задания, они могут сами получить тождество. При этом привлекаются различные формы кодирования информации: словесно-символический, наглядно-образный, предметно-практический.

Затем в каждом из тождеств выделяются две формулы. Обучаемые учатся их читать, представлять схематически, строить на их основе правила преобразования алгебраических выражений.

При изучении формул школьникам предлагаются задания, требующие не только исполнительской деятельности, но и предполагающие творческий подход к применению полученной формулы. Специальная работа проводится по опознанию выражений, которые могут быть преобразованы с помощью изучаемой формулы.

Для формирования у учащихся умения контролировать деятельность по выполнению тождественных преобразований предлагаются задания, которые учат осознавать цель проводимых преобразований, предвидеть результаты деятельности, выделять ее отдельные шаги. От тождества к тождеству растет самостоятельность школьников в их изучении.

Формированию умения предвидеть результат своей деятельности способствует, в частности, беседы «О степенях двучлена», «О двучленах вида xn ± yn».

Уравнения и неравенства

Одним из этапов овладения языком алгебры является изучение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств. Все эти понятия дают возможность учащимся увидеть прикладное значение алгебры.

Большое внимание при изучении уравнений уделяется различным способам их решения и обоснованию этих способов. Данный учебный материал является областью применения логико-доказательной деятельности учащихся.

Изучение каждого из классов алгебраических уравнений в курсе математики несет вполне определенную нагрузку в формировании понятия «решение уравнений», постепенно обогащая опыт эвристической и алгоритмической деятельности учащихся.

При работе с линейными уравнениями учащимся предлагается принять участие в построении и обосновании алгоритма решения этого вида уравнений. Они учатся исследовать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, конструировать уравнения с определенными свойствами, использовать их в решении различных задач.

При рассмотрении дробно-рациональных и иррациональных уравнений формируются регулятивные универсальные действия, обсуждаются приемы самоконтроля, возможные ошибки при решении уравнений и причины их возникновения, сравниваются приемы решения уравнений.

Учебные тексты темы «Квадратные уравнения» предоставляют возможность для обсуждения основ выбираемых планов решений, оценки их эффективности. Здесь же учащиеся могут получить пример проведения исследовательской работы и использования результатов этой деятельности.

Знания, получаемые на каждом этапе изучения уравнений, обобщаются, включаются в новые связи. Существуют специальные блоки заданий, систематизирующие все ранее изученные типы уравнений и методы их решения.

Одной из форм такой работы является беседа «Решение уравнений высших степеней». Здесь речь ведется об уравнениях высших степеней, рассматривается теорема Безу и ее применения, даются формулы Виета для уравнений третьей и четвертой степеней. Обсуждается способ нахождения целых корней уравнений с целыми коэффициентами, рассматривается формула Кардано для корней уравнения третьей степени и вводится понятие дискриминанта такого уравнения. Рассказывается о методе Феррари решения уравнения четвертой степени и кратко об общей постановке задачи разрешимости уравнений в радикалах, в связи с чем сообщается о результатах Абеля и Галуа.

Основные идеи и методы, полученные при изучении уравнений, переносятся на разработку методов решения неравенств в алгебре. Этому предшествует изучение свойств числовых неравенств.

Системы уравнений

При изучении систем уравнении развивается умение осуществлять математическое моделирование.

Формируется понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Учащиеся получают методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (метод подстановки, метод сравнения, метод сложения, графический метод).

В теоретическом аспекте учащиеся знакомятся с понятием общего решения линейного уравнения с двумя неизвестными, с исследованием данного вида систем уравнений. В прикладном аспекте рассматривается применение систем уравнений к решению различных задач.

Здесь же учащимся предоставляется возможность обобщить преобразования, которые выполнялись при решении систем линейных уравнений, обсудить равносильность систем уравнений, получаемых в ходе этих преобразований, познакомиться с методом Гаусса.

После изучения квадратичной функции и знакомства со степенными функциями рассматриваются системы нелинейных уравнений. Для таких систем наряду с использованием изученных ранее методов решения линейных уравнений учащиеся ищут специальные приемы решения, в которых актуализируется опыт тождественных преобразований, решения квадратных уравнений.

Функции

Понятие функции вводится как особое соответствие. Содержательная сторона понятия «соответствие» раскрывается на разнообразных примерах соответствий.

Рассматриваются различные способы задания функции: формулой, таблицей, графически.

Затем учащиеся изучают такие понятия как область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, а также свойства функции: четность, монотонность, периодичность и т.д. Каждое свойство анализируется с использованием разных способов кодирования информации.

Планирование учащимися своей деятельности по изучению функции приводит к созданию общей схемы исследования функций. Эта схема становится основной для рассмотрения частных видов функций: прямой и обратной пропорциональностей, линейной, квадратичной и степенных функций. Изучение этих функций проводится примерно по такому плану: рассмотрение ситуаций, которые приводят к данному виду функций; определение функции; изучение свойств функций; применение функции при решении различных задач; конструирование функции с определенными свойствами.

Такие функции, как прямая пропорциональность, линейная функция и обратная пропорциональность, изучаются блочно на основе анализа формулы, задающей эту функцию и ее графика. Комплекс заданий, способствует тому, чтобы учащиеся умели: опознавать вид функции, заданной различными способами; анализировать роль коэффициентов, определяющих данную функцию; сравнивать свойства функций по разным основаниям; применять свойства функции при решении различных задач.

Важным средством изучения функций является ее график. Поэтому в учебниках предложена специальная система заданий, в которых сам график является объектом изучения. Большое внимание уделяется построению графика квадратичной функции, в частности, методом параллельного переноса системы координат. Проводимый анализ графика и свойств функции позволяет увидеть связи между понятиями «число», «функция», «уравнение», «неравенство».

Изучение функции содержит в себе большие возможности для установления межпредметных связей, поэтому задания из различных областей знаний являются неотъемлемой частью учебного текста, в них раскрывается роль математики в познании реальной действительности.

Изучение функций организовано таким образом, чтобы учащиеся могли выбрать свой путь и способ ее изучения, провести самооценку своих знаний.

Текстовые задачи

Умение решать текстовые задачи является одним из важнейших умений, которым должны овладеть учащиеся основной школы.

С помощью системы заданий учащиеся осваивают все компоненты обобщенного умения решать задачи: анализ текста задачи; поиск способа ее решения; оформление найденного решения; исследование проведенного решения.

Задания, формирующие умение решать задачи, сгруппированы в практикумы. Эти практикумы содержат так называемые правильно поставленные задачи, а также задачи с недостаточными, избыточными и противоречивыми данными; задания, связанные с изменением условия или вопроса задачи; задания на составление задач. Каждый из таких практикумов преследует вполне определенные цели в формировании умения решать задачи.

Например, в теме «Квадратные уравнения» систематизируются знания учащихся о методе решения задач с помощью уравнений. Работа проводится по двум направлениям: переход от условия задачи к уравнению; составление задач, которые решаются с помощью квадратных уравнений. Учащиеся осознают, что различные задачи могут решаться с помощью одной и той же математической модели. Им предлагается составить задачи, аналогичные данной, или задачи, приводящие к данной математической модели, или задачи на заданную тему.

В теме «Системы линейных уравнений» предлагаются задачи, решение которых сводится к уравнениям, содержащим более одной неизвестной, и к системам таких уравнений. Предлагается сравнить разные методы решения одной и той же задачи, получить разные математические модели, позволяющие решить одну и ту же задачу.

История математики

Элементы историзма позволяют увидеть предмет в его развитии, что ведет к повышению уровня осознанности в овладении им. Во-вторых, рассмотрение исторического материала способствует общекультурному развитию учащихся.

Учащиеся знакомятся с фактами истории математики, а также выполняют специальные задания, каждое из которых имеет свое назначение в развитии различных форм умственного опыта учащихся. Некоторые исторические факты служат мотивом для изучения понятий, средством для систематизации знаний по какой-либо теме.

Расширению знаний о признаках понятий помогают экскурсы в историю возникновения названий математических терминов, их этимологию.

Пониманию математической символики способствуют учебные тексты, в которых учащимся предлагается проследить развитие обозначений тех или иных математических понятий и рассмотреть их связь с современным обозначением данного понятия.

Овладению математическим языком, формированию алгоритмической культуры учащихся способствуют учебные тексты, в которых современные алгоритмы сопоставляются с известными в истории алгоритмами выполнения тех же операций.

Большое мировоззренческое значение имеют специальные разделы, посвященные истории развития того или иного понятия. Эти материалы позволяют установить пространственно-временные связи между понятиями, взглянуть на математику как на элемент общей человеческой культуры.

Элементы теории вероятностей и статистики

При изучении этого учебного материала обобщаются интуитивные представления учащихся о ситуациях (определенном комплексе условий), в которых возникают случайные, т.е. статистически устойчивые, события. Данный учебный материал имеет большое мировоззренческое значение. При его изложении внимание уделяется развитию исследовательского опыта учащихся, показу исторического пути развития понятия вероятности, рассмотрению его прикладных аспектов.

Учащиеся сталкиваются с необходимостью анализа эксперимента, развития навыков построения теоретической модели эксперимента, с необходимостью сопоставления интуиции с законами и свойствами вероятности событий.

При изучении данного учебного материала обучаемые овладевают навыками определения числа элементарных исходов, соответствующих эксперименту и рассматриваемому событию. При этом расширяется объем математических понятий и фактов, используемых для решения задач. Учащиеся знакомятся с элементами комбинаторики, способами построения дерева исходов, свойствами вероятностей событий; узнают о самом простом определении вероятности события – классическом определении, с понятием «частота случайного события».

Затем вводится еще один способ определения вероятности – геометрическая вероятность. Применение этого понятия при решении задач требует знания свойств геометрических фигур, что требует актуализации связей с курсом геометрии.

На всех этапах изучения понятий теории вероятностей (рассмотрение теоретических положений, решение практических задач) создаются условия для того, чтобы учащиеся могли активно использовать свои прошлые знания и учиться видеть их развитие.

7. Основное содержание курса

7 класс

Введение

От арифметики к алгебре

Мотивация изучения алгебры. Знакомство с алгебраическим языком. Числовые и алгебраические выражения. Из истории алгебры.

Тема «Целые алгебраические выражения»

1. Степени с натуральным показателем

Операция умножения. Степень с натуральным показателем. Операции со степенями. Алгебраические операции и их свойства.

2. Одночлены

Понятие одночлена. Одночлен стандартного вида. Умножение одночленов. О подстановках.

3. Многочлены

Операция сложения. Понятие многочлена. Многочлен стандартного вида. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочленов. Разложение многочлена на множители. Целые алгебраические выражения. Многочлены-списки и операции над ними.

4. Формулы сокращенного умножения.

Формула квадрата суммы (разности): введение, опознание, алгоритм преобразования, применение формулы. Формула полного квадрата. Формула куба суммы (разности). Формула произведения суммы двух выражений и их разности. Формула разности квадратов. Формула суммы и разности кубов.

Систематизация способов разложения многочлена на множители. Применение разложения многочленов на множители к решению различных задач.

О степенях двучлена.

5. Деление многочленов.

Операция деления. Деление одночлена на одночлен. Деление многочлена на одночлен. Деление многочлена на многочлен. О двучленах вида xn ± yn.

6. Тождества, уравнения.

Тождества. Уравнения. Линейные уравнения. Решение задач с помощью уравнений. От чисел к тождествам.

Тема «Рациональные алгебраические выражения»

1. Алгебраические дроби.

Мотивация изучения алгебраических дробей. Понятие алгебраической дроби. Свойства алгебраических дробей. Тождественные преобразования алгебраических дробей.

2. Операции с алгебраическими дробями.

Сложение и вычитание алгебраических дробей. Умножение и деление алгебраических дробей.

3. Степень с целым показателем.

Понятие степени с целым показателем. Действия со степенями.

4. Рациональные алгебраические выражения.

Понятие рационального алгебраического выражения. Упрощение рациональных алгебраических выражений.

Тема «Элементы теории вероятностей»

Знакомство с теорией вероятностей и комбинаторикой.

Понятие эксперимента. Элементарное событие. Случайное событие. Вероятность случайного события. Классическое определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики.

8 класс

Тема «Повторение»

Рациональные алгебраические выражения.

Все действия над алгебраическими дробями. Решение рациональных уравнений.

Тема «Действительные числа. Алгебраические выражения, содержащие корни»

1. Действительные числа.

Операция, обратная операции возведения в степень. Понятие корня второй степени из числа. Значение арифметического квадратного корня из числа 2. Запись числа в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Арифметические квадратные корни из натуральных чисел. Множество действительных чисел. Корни n-степени из неотрицательных чисел. Решение уравнений вида xn = a. Из истории действительного числа.

2. Свойства операции извлечения корня.

Связь между извлечением корня и возведением в степень. Извлечение арифметического корня из произведения, частного, степени. Умножение и деление корней. Возведение корня в целую степень. Действия с корнями различных степеней.

Понятие степени с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем.

Сложение и вычитание корней. Упрощение выражений, содержащих корень. Освобождение от корней в знаменателе или числителе дроби. Применение свойств корней к решению уравнений.

Иррациональные числа и золотое сечение.

Тема «Квадратные уравнения»

Квадратные уравнения.

Мотивация изучения квадратных уравнений. Понятие квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Определение квадратного уравнения. Опознание квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Вывод формулы корней квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения. Алгоритм решения квадратного уравнения.

Упрощение вычислений корней квадратного уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета.

Разложение квадратного трехчлена на множители. Применение теоремы Виета и теоремы, ей обратной. Способы решения квадратных уравнений. Применение квадратных уравнений при решении рациональных и иррациональных уравнений.

Метод замены переменной. Биквадратные уравнения. Применение квадратных уравнений при решении текстовых задач.

Из истории квадратных уравнений. Решение уравнений высших степеней.

Тема «Неравенства в алгебре»

1. Числовые неравенства.

Мотивация изучения числовых неравенств. Понятие числового неравенства. Основные свойства числовых неравенств. Свойства неравенств, связанные со сложением и вычитанием. Свойства неравенств, связанные с умножением и делением. Свойства нестрогих и двойных неравенств.

2. Множества.

Понятие множества. Понятие числового промежутка. Основные операции над множествами.

3. Неравенства с одним неизвестным.

Понятие неравенства с одним неизвестным. Линейное неравенство с одним неизвестным. Решение линейного неравенств с одним неизвестным. Решение неравенств с одним неизвестным, сводящихся к линейным неравенств с одним неизвестным.

Система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение систем линейных неравенств с одним неизвестным. Метод интервалов.

Дробно-рациональные неравенства с одним неизвестным. Решение дробно-рациональных неравенств с одним неизвестным.

Доказательство неравенств.

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Применение неравенств в приближенных вычислениях.

Тема «Элементы теории вероятностей»

Случайные события и вероятность.

Вероятность и частота. Геометрическая вероятность. Вероятности случайных событий.

9 класс

Тема «Функция»

1. Функция и способы ее задания.

Мотивация изучения понятия функции. Определение понятия функции. Способы заданий функции.

2. Исследование числовой функции.

Область определения функции. Четность, нечетность. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Наибольшее и наименьшее значение функции. Промежутки монотонности функции. История развития понятия функции.

3. Исследование прямой пропорциональности, линейной функции, обратной пропорциональности..

Свойства прямой пропорциональности и ее график. Свойства линейной функции и ее график. Свойства обратной пропорциональности и ее график. О графиках трех функций.

4. Квадратичная функция.

Квадратичная функция в физике. Примеры исследования свойств квадратичной функции.

5. График квадратичной функции.

График функции y = x2. График функции y = аx2. График функции y = аx2 + n. График функции y = а(x – m)2. График квадратичной функции и ее свойства. Многоликая парабола.

6. Степенная функция.

Понятие степенной функции. Степенная функция с натуральным показателем. Степенная функция y = xr, где r – рациональное число.

Тема «Системы уравнений»

1. Системы линейных уравнений.

Понятие линейного уравнения с двумя неизвестными. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Методы решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Равносильность систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса.

2. Системы уравнений, содержащие нелинейные уравнения.

Знакомство с системами уравнений нового вида. Применение «старых» методов для решения системы уравнений, содержащих нелинейные уравнения. Системы, состоящие из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени. Системы двух уравнений второй степени. Системы, содержащие уравнения более высоких степеней или содержащие более двух уравнений. Применение систем уравнений к решению задач.

3. Неравенства второй степени. Системы неравенств.

Понятие неравенства второй степени. Алгоритм решения неравенства второй степени. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени или к системам неравенств. Применение неравенств второй степени к решению задач.

Тема «Последовательности»

Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Понятие числовой последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма n-первых членов арифметической и геометрической прогрессии. Применение прогрессий при решении задач.

Тема «Элементы математикой статистики»

Введение в математическую статистику.

Понятие математической статистики. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупность. Статистическое распределение выборки. Числовые характеристики выборки. Обработка результатов наблюдений.